「線分の長さ」を求める問題に挑戦！ポイントは「面積」？

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解説

それでは解説です。さまざまな解き方がありますが、ここではそのひとつを紹介します。

この問題の解き方をまとめた図がこちらです。

平行線に注目することで、面積の等しい三角形を見つけられるかが重要です。

では、このポイントを踏まえて解いていきましょう！

「長さの比」を「面積比」として考える

今回の問題では、線分同士の長さの比に関してさまざまな情報が与えられています。これらの比を、「三角形の底辺の長さの比」として考えてみましょう。まず注目するのは、三角形ABEと三角形EBCの2つです。

この2つの三角形は高さが共通しているため、底辺の長さの比がそのまま面積比になります。したがって、2つの三角形の面積比はAE:ECの長さの比と同じ3:8であることがわかります。仮に、それぞれの面積を③、⑧とおいてみましょう。

続いて、長さの比DE:EF=1:4を同様に三角形の面積比として活かすことを考えます。下の図のように線を1本描き足すことで、線分EFを底辺とし、三角形DBEと共通の高さを持つ三角形EBFが見えてきます。

ここで、三角形EBCと三角形EBFに注目してみましょう。2つの三角形は底辺EBを共有しており、さらに線分BEと線分CFが互いに平行であることから、高さも等しくなっています。したがって2つの面積は等しく、ともに⑧と表すことができるのです。

このことを踏まえ、あらためて三角形DBEと三角形EBFについて考えます。2つの三角形は高さが等しく、底辺の長さの比はDE:EF=1:4であることから、面積の比も1:4となります。したがって、三角形EBFの面積が⑧と表せるとき、三角形DBEの面積は②に相当することがわかります。

以上のことから、三角形ABEの面積は③、三角形DBEの面積は②と表すことができ、前者から後者を引いて残った三角形ADEの面積は③-②=①に相当します。

したがって、高さが共通する三角形ADEと三角形DBEに注目すると、底辺AD、DBの長さの比は面積比と同じ1:2であるといえます。DBの長さが24であることから、求めるADの長さは24÷2=12だとわかるのです。

答え：12

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