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1ページ目：自力で解きたい方はこちらへ！ 以下は問題の解説です
解説
それでは解説です。さまざまな解き方がありますが、ここではそのひとつを紹介します。
今回の問題を解くうえで重要なポイントを以下にまとめました。
整理すると、
- 垂線を下ろす
- 新たにできた2つの直角三角形の関係に注目する
の2点です。これらのポイントを踏まえながら、問題を解いていきましょう。
垂線を下ろす
下の図のように点Eから辺CD、点Hから辺BCに垂線を下ろし、垂線の足を点J、点Kとしてみます。このとき、AH=BK=2cm、EB=JC=7cmであることがわかります。また、EJ・HKはそれぞれ垂線なので、新しくできた三角形HFK、三角形EGJは直角三角形になります。
新たにできた2つの直角三角形の関係に注目する
ここで、新しくできた直角三角形HFK、直角三角形EGJに注目します。説明のため、HFとEJとの交点を点L、HKとEJの交点を点Mとします。
問題の条件から、HFとEGは垂直に交わるので、角EIF=90度です。したがって、三角形EILに注目すると、角ELI=180度-(角EIF+角IEL)=90度-角IELとなります。
また、HKとEJは垂直に交わるので、角HML=90度です。したがって、三角形HMLに注目すると、角HLM=角ELI=180度-(角HML+角MHL)=90度-角MHLとなります。
よって、角ELI=90度-角IEL=90度-角MHLとなり、90度-角IELと90度-角MHLが同じ大きさの角になるので、角MHL=角IELがわかります。よって、角FHK=角GEJです。
ここで、四角形ABCDが正方形であることと、垂線の性質から、四角形AHKBの4つの内角はすべて90度になります。したがって、AHKBは長方形であり、AB=HKです。また、四角形EBCJも同様に長方形になるため、BC=EJとなります。四角形ABCDが正方形であることからAB=BCであり、HK=AB=BC=EJ、つまりHK=EJとなることがわかります。
以上のことから、角HKF=角EJG=90度、HK=EJと角FHK=角GEJの3つが成り立ちます。「三角形の1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」ことから、直角三角形HFKと直角三角形EGJは合同な三角形になります。したがって、KF=JGです。
ここで、BC=BK+KF+FC=2cm+KF+FCと表されます。加えて、CD=CJ+JG+GD=7cm+JG+10cm=17cm+JGと表されます。KF=JGであることと、正方形ABCDの性質からBC=CDであることを用いると、2cm+KF+FC=17cm+JG=17cm+KFです。
このことから、2cm+KF+FC=17cm+KFという式は、FC=15cmのときに成り立つことがわかります。したがって、FCの長さは15cmになります。
答え：15cm
それではまた次の算数ノートでお会いしましょう！
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