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1ページ：【解答フォーム】自力で解きたい方はこちらへ！ 以下は問題の解説です
解説
それでは解説です。さまざまな解き方がありますが、ここではそのひとつを紹介します。
この問題の解き方をまとめた図がこちらです。
辺の長さを①などと置き換えて考えることで、P、Qの中点としての性質を活かすことができます。
では、このポイントを踏まえて解いていきましょう！
角度の情報を整理する
角PCQの大きさを直接求めることはできないため、まずはPCQを含むより大きな角について考えます。そこで、下の図で囲まれた三角形APCに注目してみましょう。
三角形の内角の和が180度であることから、角ACPの大きさは180-(104+38)=38度と求められます。したがって、角APCと角ACPの大きさが等しいことから、三角形APCはAP=ACの二等辺三角形だとわかります。
長さの情報を整理する
続いて、問題中に示されている長さの情報についても考えましょう。PはABの中点であり、さらにQはAPの中点であるという情報から、AQの長さを仮に①とおいてみます。
このときAPの長さはAQの2倍にあたる②、ABの長さはさらにその2倍にあたる④と表すことができます。
さらに、先ほど求めた通りAP=ACであるため、APの長さも②となります。
ここで、三角形ABCと三角形ACQに注目してみましょう。この2つの三角形はともに1つの内角の大きさが104度で、それを挟む辺の長さはそれぞれAB=④、AC=②、AQ=①です。
2つの三角形の関係がよりわかりやすくなるよう、104度の角を重ねたまま三角形ACQを下の図のように反転させてみましょう。
三角形ACQの頂点C、Qが移った点をそれぞれC'、Q'とすると、辺の長さの比についてAB:AC'=④:②=2:1、AC:AQ'=②:①=2:1が成り立ちます。したがって下の図のように、AC'、AQ'の長さが2倍になるよう三角形AC'Q'を拡大すると、三角形ABCにぴったり重なるのです。
したがって、反転する前の三角形ACQも、拡大することで三角形ABCにぴったり重なります。三角形を拡大してもそれぞれの内角の大きさは変わらないので、角ACQの大きさは角ABCと同じ22度であることがわかります。
ここまででわかったことをまとめると、下の図のようになります。
以上のことから、求める角PCQの大きさは角ACP-角ACQ=38-22=16度となるのです。
答え：16度
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