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解説
それでは解説です。さまざまな解き方がありますが、ここではそのひとつを紹介します。
この問題の解き方をまとめた図がこちらです。
三角形ACIの周りにある面積を求めやすい三角形の存在に気づくことで、グッと答えに近づくことができます。
では、このポイントを踏まえて解いていきましょう！
3つの三角形に注目する
まずポイントとなるのは、BFとCFの長さを合計したBCの長さが15だとわかっていることです。このことから、BFの長さを求めることができればCFの長さもすぐにわかります。
そしてBFの長さを求めるために注目するのが、下の図に示した三角形ABIです。この三角形は底辺ABの長さが8+6=14、高さがGI=BFであり、この三角形の面積を求めることでBFの長さもわかります。
三角形ABIの面積を求めるため、さらにもうひとつ三角形BCIにも注目します。ACI、ABI、BCIの3つの三角形を組み合わせると、下の図のようにちょうど長方形ABCDの半分になります。
三角形ACIの面積は問題文より32であり、また三角形BCIの面積は15×6÷2=45と求めることができます。
したがって、三角形ABIの面積は長方形ABCDの半分から2つの三角形を引いて14×15÷2-(32+45)=28と求めることができるのです。
よって三角形ABIの高さにあたるGI=BFの長さは28×2÷14=4、CFの長さは15-4=11、だとわかるのです。
答え：11
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