九角形の「対角線の引き方の数」を求める問題にチャレンジ！あなたは解けますか？

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それでは解説です。さまざまな解き方がありますが、ここではそのひとつを紹介します。

今回は私と一緒に解いていきましょう！　問題文から直接答えを求めるのは骨が折れそうですがどうすればいいでしょうか？

今回の問題を解くうえで重要なポイントを以下にまとめました。

整理すると、

の2点です。これらのポイントを踏まえながら、問題を解いていきましょう。

最初に、「2本の対角線を引くこと」を別の見方から考えてみましょう。

下の図のように、九角形の対角線が交わる状態を考えます。

このとき、対角線が結ぶ頂点は4つあるため、この4点で四角形を作ることができます。また、九角形の対角線は四角形の対角線にもなっていることがわかります。四角形には対角線を2本しか引くことができないので、四角形の2本の対角線の引き方は当然1組だけですね。

つまり、九角形の頂点から4つを選んで四角形を1つ作ると、その四角形に対応して、「九角形の互いに交わる2本の対角線の引き方」が1通りに定まります。

したがって、「互いに交わる2本の対角線の引き方」の数は、「九角形の頂点から異なる4つの頂点を選び、四角形を作るときの作り方」の数と同じです。

よって、答えを求めるには「九角形の頂点から異なる4つの頂点を選び、四角形を作るときの作り方」の数を求めればいいことがわかります。

では、「九角形の頂点から異なる4つの頂点を選び、四角形を作るときの作り方」の数を求めるにはどうすればいいでしょうか。

ここで、九角形の9つの点にA~Iまでのアルファベットを振ります。まず、九角形から1つの点を選ぶ選び方は9通りあります。次は、残り8個から2つ目、さらに残り7個から3つ目、最後に残り6個から4つ目の点を選ぶと、選び方の総数は9×8×7×6=3024通りになります。

しかし、上の考え方では、同じ4点（例えば点A、点B、点E、点H）を選んだ場合でも「点A→点B→点E→点H」「点B→点E→点H→点A」「点E→点H→点A→点B」のように、選ぶ順番を変えただけのものを別々に数えてしまっています。

ここでは、同じ4点に対して、その並べ方である4×3×2×1=24通りを別々に数えてしまっているので、先ほどの3024通りを24で割ることで、3024÷24=126通りが、4つの頂点の選び方の数であることがわかります。

そのため、九角形の頂点から異なる4つの頂点を選ぶ方法は126通りであり、求める答えも126通りであることがわかります。

答え：126通り

問題文の条件を上手く読みかえて考えることがポイントでした。

それではまた次の算数ノートでお会いしましょう！

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