難問！2つの正十角形を重ねた図形の「面積を求める」問題に挑戦

問題

1ページ目：自力で解きたい方はこちらへ！　以下は問題の解説です

解説

それでは解説です。さまざまな解き方がありますが、ここではそのひとつをご紹介します。

今回の問題の解き方をまとめた図がこちらになります。

ポイントは、正十角形の中心を結んで面積がわかる三角形をつくることです。これを踏まえて解いていきましょう！

正十角形の面積に注目する

2つの正十角形の頂点が重なっている点をAとします。図のように、点Aと点Mを結ぶ線分を書き加えてみます。

正十角形1つ分の面積は60cm²なので、赤色の部分のうち片方の面積と青色の部分の面積の合計が60cm²であることがわかります。

赤色の部分の面積が最終的に求める面積です。しかし、赤色の部分の面積をそのまま求めることは難しいので、まずは青色の部分の面積を求めてみましょう。

中心を結んで面積がわかる三角形をつくる

下の図のように、正十角形の点Aの隣の頂点をBとし、中心をOとします。

青色の部分は、正十角形を線分AM・BMで分割して三角形ABMを取り除き、線分AMとBMが重なるようにくっつけた形と一致します。そこで、三角形ABMの面積が求められないか考えてみましょう。

三角形ABOの面積は、正十角形を中心から10等分した面積になるので、60÷10=6（cm²）です。

また、点Oは正十角形の中心、点MはABと向かい合う平行な辺にあります。そのため、底辺をABとしたときの三角形ABMの高さは、同じく底辺をABとしたときの三角形ABOの高さの2倍になります。

よって、三角形ABMの面積は三角形ABOの面積の2倍になることから、三角形ABMの面積は、6×2=12（cm²）となります。

正十角形からそれぞれの面積を引く

青色の部分の面積は、正十角形の面積から三角形ABMの面積を引けば求められるのでした。正十角形の面積は60cm²なので、青色の部分の面積は、60-12=48（cm²）です。

赤色の部分の面積のうちの片方の面積は、正十角形の面積から青色の部分の面積を引いて、60-48=12（cm²）となります。

最終的に求める面積はこれの2つ分なので、12×2=24（cm²）と求められます。

それではまた、次の算数ノートでお会いしましょう！

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