正方形と三角形を組み合わせた図形の「面積の大きさ」を求める問題に挑戦！

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それでは解説です。さまざまな解き方がありますが、ここではそのひとつを紹介します。

今回は私と一緒に解いていきましょう！　三角形ABCについての条件と正方形ACDEをどのように結び付ければいいでしょうか？

今回の問題を解くうえで重要なポイントを以下にまとめました。

整理すると、

の2点です。これらのポイントを踏まえながら、問題を解いていきましょう。

まず、三角形ABCに注目しましょう。三角形ABCの角ABCの大きさは30度、角ACBの大きさは105度なので、角BAC=180度-(角ABC+角ACB)=45度になります。

点Cから辺ABに垂線をおろし、垂線の足を点Fとします。すると、三角形BCFは3つの内角の大きさがそれぞれ30度、60度、90度の直角三角形に、三角形ACFは3つの内角の大きさがそれぞれ45度、45度、90度の直角二等辺三角形になります。

三角形BCFに注目すると、これは下図のように正三角形BCGを2つに分けた三角形です。ここで、線分BFは辺CGを垂直に2等分する線分です。したがって、CG=BC=6cmより、CFの長さは6÷2=3cmです。

次に、正方形ACDEに着目します。正方形ACDEに対角線ADとCEを引き、対角線の交点を点Hとします。このとき、正方形の性質から、三角形ACHは直角二等辺三角形になります。

ここで、三角形ACHと三角形ACFに注目すると、角AHC=角AFC=90度、角ACH=角ACF=45度、辺ACは共通なので、「直角三角形の斜辺の長さと1つの鋭角が等しい」ことから、三角形ACHと三角形ACFは合同です。

そのため、三角形ACHと三角形ACFは面積が等しいです。正方形ACDEの面積は、三角形ACHの面積の4つ分なので、すなわち三角形ACFの面積の4倍に等しくなります。

三角形ACFの面積は、CF=AF=3cmより、3×3÷2=4.5cm²です。したがって、求める正方形ACDEの面積は、4.5×4=18cm²になります。

答え：18cm²

三角形ABCを上手く分割して考えることがポイントでした。

それではまた次の算数ノートでお会いしましょう！

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