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解説

それでは解説です。さまざまな解き方がありますが、ここではそのひとつを紹介します。

前ページ:【解答フォーム】自力で解きたい方はこちらへ! 以下は問題の答えです。

今回は私と一緒に解いていきましょう! 曲面上にある糸の長さなんて、どうやって求めればいいのでしょう?

今回のポイントは、「展開図を使う」ことです。

円すいの展開図は、おうぎ形から構成されます。

一見イメージするのが難しい立体図形の問題も、展開して平面図形にしてしまえば、ずいぶんと解きやすくなります。

以上を踏まえ、問題を解いていきましょう!

円すいを展開する

まず、糸が巻かれた円すいを展開します。

すると、糸のかけ始めの点である点Aと、かけ終わりの点である点A'(もとの立体図ではAと重なっている)のあいだに、糸である赤線が引かれているのがわかります。

そして、この赤線がもっとも短くなるのは、点Aと点A'を一直線に結んでいるときです。

立体のままでは曲がっていた糸も、展開図にすることで直線に直すことができました。あとはこの直線の長さを求めていきましょう!

おうぎ形の中心角を求める

糸の長さを導きだすためには、まだ情報が足りません。この問題を解くうえで必要となる情報は、おうぎ形の中心角の大きさです。したがって、ここでは中心角の大きさを求めていきます。

円すいの展開図における、円とおうぎ形の弧の部分は、もとの立体図形では重なっていました。つまり、円の周りの長さとおうぎ形の弧の長さは等しいのです。

この性質がおうぎ形の中心角、ひいては糸の長さを求める重要なポイントになります!

円の周りの長さは、4×π=4πcmとなります。

おうぎ形の弧の長さも同じく4πcmなので、おうぎ形の中心角を〇度とすると、

12×2×〇/360×π=4πcm

という式が成り立ちます。この式を計算すると、〇に入る値は60となります。したがって、おうぎ形の中心角は60度です。

すると、おうぎ形の2本の半径と糸の線によってつくられる三角形は、一辺が12cmの正三角形だということがわかります。

よって、糸の線の長さは、おうぎ形の半径と同じ12cmと求まります。

答え:12cm


展開図を使って考えることができるかがポイントでした!

またの挑戦をお待ちしています!

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この記事を書いた人

シャカ夫

京都大学出身。クイズと毒とホラーが大好き。見るだけで世界が広がるような知識を皆さんにお届けできるよう、日夜頑張ってまいります。

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