問題
1ページ目：自力で解きたい方はこちらへ！ 以下は問題の解説です
解説
それでは解説です。さまざまな解き方がありますが、ここではそのひとつをご紹介します。
今回の問題の解き方をまとめた図がこちらになります。
ポイントは、合同な三角形に分けて、利用しやすい角度や比をつくることです。これを踏まえて解いていきましょう！
3つの合同な三角形
点Bと点Dを結ぶ対角線を引いてみましょう。
すると、三角形ABDと三角形EBD、三角形EBCの3つの三角形ができます。
ここで、三角形EBDと三角形EBCに着目してみましょう。
条件から、角BED=角BEC=90度、DE=CEです。また、共通の辺BEをもつことから、2組の辺とその間の角が等しいため、三角形EBDと三角形EBCは合同であることがわかります。
よって、対応する角は等しいので、角BDC=角BCD=75度であることがわかります。また、角ADC=150度、角BDC=75度より、角ADB=150-75=75度です。
そして、三角形ABD、三角形EBD、三角形EBCに着目します。この3つの三角形において、AD=DE=ECで、それぞれ両端の角が75度と90度であることがわかりました。
このことより、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、三角形ABD、三角形EBD、三角形EBCはそれぞれ合同な三角形であるといえます。
これらの三角形の面積が求まれば、四角形ABCDの面積が求められそうです。
30度の角に注目する
ここで、三角形BCDに注目します。角BDC=角BCD=75度より、角CBD=180-(75+75)=30度です。
点Dから対辺BCに垂線を引いてみましょう。
三角形EBDと三角形EBCは合同なので、BD=BC=8cmです。三角形BCDにおいて、辺BCを底辺としたとき、辺DHが高さとなり、面積が求められますね。
また、三角形BDHにおいて、角DBH=30度、角BHD=90度より、角BDH=180-(30+90)=60度です。下の図のように、三角形BDHと、辺BHを軸に反転させた三角形を合わせます。すると、1辺が8cmの正三角形ができます。
この正三角形において、角DBH=30度、角BHD=90度より、BHは正三角形の頂角の二等分線であることがわかります。正三角形の頂角の二等分線は1辺を垂直に2等分するため、DHの長さは、8÷2=4cmとなります。
よって、底辺がBC=8cm、高さがDH=4cmより、三角形BCDの面積は、8×4÷2=16cm²となります。
最終的に求めたい四角形ABCDの面積は、三角形BCDの面積の1.5倍です。
よって、四角形ABCDの面積の大きさは、16×1.5=24（cm²）と求まります。
答え：24cm²それではまた、次の算数ノートでお会いしましょう！
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