小学生で解ける「場合の数」を求める問題にチャレンジ！

問題

1ページ目：自力で解きたい方はこちらへ！　以下は問題の解説です

解説

それでは解説です。さまざまな解き方がありますが、ここではそのひとつをご紹介します。

今回の問題の解き方をまとめた図がこちらになります。

ポイントは、すべての場合から条件に当てはまらない場合を引くことです。これを踏まえて解いていきましょう！

「少なくとも」に注目する

問題文に「少なくとも」と書かれているときは、条件に当てはまるすべての場合（事象）を数えるよりも、条件に当てはまらない場合（余事象）を数えて、全体の場合（全事象）の数から引く方が簡単なことがあります。

なので、「少なくとも」という言葉を見たら、問題の条件に当てはまらない場合を考えてみましょう。「少なくとも2本交わる」は、「どの2本も交わらない」の反対です。交点が1つもない場合を数えて、すべての場合から引けば簡単に答えが出せます。

すべての場合の数を考える

まずは、すべての場合の数を求めてみましょう。A、B、Cのそれぞれについて、「どの点と結ぶか」を順番に決めていきます。

まず、点Aと結ぶ点を5つの点ア～オから選ぶので、5通りあります。次に、同じ点とは2本以上線を引けないので、点Bと結ぶ点は、残った4つの点から選ぶことになり、4通りです。最後に、点Cと結ぶ点は、さらに残った3つの点から選ぶので、3通りあります。

したがって、すべての線の引き方は、それぞれの選び方をかけ合わせて、5×4×3=60通りとなります。

条件に当てはまらない場合の数を考える

次に、問題の条件に当てはまらない場合の数を求めてみましょう。今回の問題の条件に当てはまらない場合の数とは、どの2本も交わらない線の引き方の数です。

例えば、下の図のような線の引き方があります。

交わらない引き方には、はっきりした特徴があります。ア～オから3つの点を選んだら、左から順にA、B、Cと結べばよいです。この結び方なら、線どうしは絶対に交わりません。

逆に、結ぶ相手を入れかえると必ずどこかで交わってしまいます。つまり、使う3つの点を決めたとき、交わらない結び方はそのうちのたった1通りだけです。

したがって、どの2本も交わらない線の引き方は、5つの点から3つの点を選ぶ場合の数と同じになります。

そこで、5つの点から3つを選ぶ選び方を数えてみましょう。まずは選ぶ順番も区別して数えてみます。

仮に、ア、イ、ウの順番で選んだとしましょう。この場合、1つ目はア～オの5つの点から選べるので5通り、2つ目は残り4つの点から選べるので4通り、3つ目は残り3つの点から選べるので3通りです。ここまでで、5×4×3=60通りになります。

しかし、この中には同じ組み合わせが何回も数えられています。例えば、下の図のようにアとイとウの組み合わせの中でも、順番が異なるものが6つ存在します。

3つの点の並び順は、1つ目は3つの点の中からどれでも選べるので3通り、2つ目は残り2つの点の中から選ぶので2通りなので、3×2=6通りです。

すべての異なる組み合わせにおいても同じく6回ずつ数えてしまっているので、60÷6=10通りが5つの点から3つの点を選ぶ場合の数となります。

今回の問題の条件で、すべての点の結び方が60通り、1本も交わらない線の引き方が10通りであることがわかりました。したがって、少なくとも2本が交わる線の引き方は、60−10=50通りと求まります。

それではまた、次の算数ノートでお会いしましょう！

「ひらめけ！算数ノート」のバックナンバーはこちらから。

【前回の算数ノートはこちら】

【あわせて読みたい】