直角二等辺三角形に関する「面積」を求める難問にチャレンジ！

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1ページ目：自力で解きたい方はこちらへ！　以下は問題の解説です

解説

それでは解説です。さまざまな解き方がありますが、ここではそのひとつを紹介します。

今回の問題を解くうえで重要なポイントを以下にまとめました。

整理すると、

• 直角二等辺三角形ABCを4つ組み合わせる
• 完成した図形を分割する

の2点です。これらのポイントを踏まえながら、問題を解いていきましょう。

直角二等辺三角形ABCを4つ組み合わせる

最初に青い部分を三角形に分割して面積を計算しようとしても難しそうです。そこで、図形全体の形を変えて、面積がわかるような図形を作ることを考えます。

ここでは、直角二等辺三角形ABCの2つの底角の大きさが45度であること、角の二等分線によって角の大きさが22.5度ずつに分かれることを利用するため、下の図のように直角二等辺三角形ABCを4つ組み合わせることを考えます。

辺ABと辺BCの部分で4つの直角二等辺三角形をぴったり合わせると、直角二等辺三角形の性質から、図のような大きな正方形が1つ完成します。

完成した図形を分割する

次に、新しくできた図形について、下のように点A～点Fをふります。

このとき、図中の角●は、直角二等辺三角形の底角を二等分したものなので、●=22.5度です。したがって、角DAF=45度であることがわかります。

ここで、線分BDを延長したとき、線分AFと交わる点をGとします。すると、角ADGの大きさは、角ADB=180度-(角BAD+角ABD)=180度-●-●=135度であることから、角ADG=180度-135度=45度です。

したがって、角DAG=角DAF=45度、角ADG=45度であることから、角AGD=90度であり、三角形ADGは直角二等辺三角形であることがわかります。

したがって、同様にして下の図のように直角二等辺三角形を4つ作ることができます。

下の図のように点GからADに垂線を引くと、辺ADを底辺と見たときの高さが5cmであるので、直角二等辺三角形ADGの面積は10×5÷2=25cm²になります。したがって、直角二等辺三角形4つ分の面積は25×4=100cm²です。

次に、真ん中にできた四角形GHIJについて、4つの内角の大きさはすべて90度です。また、BJ=DGより、JG=DG+JD=BJ+JD=BD=10cmになります。同様に、GH=HI=IJ=10cmであるため、四角形GHIJは一辺の長さが10cmの正方形になります。したがって、その面積は10×10=100cm²になります。

したがって、問題の図形4つ分の面積が100+100=200cm²になることがわかります。そのため、求める図形の面積は200÷4=50cm²です。

答え：50cm²

それではまた次の算数ノートでお会いしましょう！

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