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解説
それでは解説です。さまざまな解き方がありますが、ここではそのひとつを紹介します。
この問題の解き方をまとめた図がこちらです。
ポイントは、1の位の変化だけに注目して考えることです。
では、このポイントを踏まえつつ解いていきましょう！
1の位の変わり方を考える
「37を100回かける」という計算は、実際にやってみるには大変すぎます。今回は4択の中から正しい答えを選べればいいので、もっと簡略化した考え方で「余りになりうる」数を1つに絞り込んでいきましょう。
注目すべきはズバリ、1の位です。2つの整数をかけるとき、1の位同士のかけ算を考えれば積となる数の1の位もわかります。下のような筆算をイメージすると、わかりやすいかもしれません。
したがって、37を2回かけた積の1の位は9であるとわかります。同様に、37を3回かけた積の1の位は9×7=63より3、4回かけた積の1の位は3×7=21より1となります。
そして、ここで1の位が1になったため、37を5回かけた積の1の位は再び7になります。以降は、37を4回かけるごとに1の位には「7、9、3、1」が繰り返し登場することになります。
この4回を「1セット」として考えると、37を100回かけたときには100÷4=25セットがちょうど繰り返されることになります。したがって、37を100回かけた積の1の位は1であることがわかるのです。
「余りになりうる」選択肢を考える
4つの選択肢「16」「17」「18」「19」のうち、余りになりうるものはどれでしょうか。割る前の数についてわかっている情報は「1の位が1である」ということだけなので、余りについてもやはり1の位に注目して考えます。
35のように1の位が5である整数は、どんな整数をかけても1の位が0または5にしかならない、という点がポイントです。
4つの選択肢の中から、この条件に当てはまるものを探しましょう。35の倍数は1の位が0または5であることから、余りとなる数を足したときの1の位も、下のようにそれぞれ2通りに絞られます。
よって、4つの選択肢のうち1の位が1である整数を35で割ったときの余りになりうるのは16のみであることがわかるのです。
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